数学のページ

解法と解答

1投目で1が出た時点で


取り出したサイコロが普通の方である確率は　1/3

変わったサイコロである確率は 　2/3　


となります。



普通のサイコロだったとき、後の999回で１が出る期待値は 333/2

変わったサイコロだったとき、後の999回で１が出る期待値は 333　です。


合わせて計算すると、(333/2)×(1/3)+333×(2/3)+1＝557/2

よって、求める期待値は 278.5回

解説

〜そうだ選挙に行こう〜

さて、今回の問題は選挙に関する問題だといいました。
どこが選挙に関係あるの？と思った人も多いと思いますがそれはこれから説明します。
簡単に言うと、一票の重さについてです。

この問題では１投目に1が出た時について考えましたが、１投目に１でなかった場合、期待値はどうなるのでしょう？

１投目に１が出なかった時の、１投目から100投目までに１が出る回数の期待値を求めます。
計算式は(333/2)×(5/9)+333×(4/9)＝481/2 で、求める期待値は 240.5回 です。


１投目に１が出た時に比べて、38回分差が出ました。
つまり、はじめの１投が38投分も期待値を変えたことになります。

さあ、ここで選挙の話とつながります。
この1投目を選挙の一票に置きかえれば、一票が38票分の期待値を変えることがあると思いませんか？

　置き換えるとしたらこんな感じだと思います。
さっきの問題のように解くことはできませんが、
一票が何票分もの期待値を変えそうな気がしますよね。


　「気がする」で終わらせるのはもったいないので、ちょっと突っ込んで考えてみます。
サイコロの問題で、1投目が期待値に大きな影響を与えた原因はサイコロの種類が特定されてなかったからです。
もし、サイコロが特定されていたら、1投目は期待値を1投分しか変えることができません。
選挙でサイコロの種類に当たるのは実際の支持率になります。
実際の支持率も開票するまで特定されません。25％かもしれませんし、30%かもしれません。
ですから、サイコロのときと同じように一票が期待値に対して一票以上の影響を与えます。

実際にどれくらい影響を与えるかは私にはよくわかりません…。１％ぐらいでしょうか？